3. 공식 유도  

공식 i)은 삼각형의 정의이기 때문에 증명이 불가능한 영역입니다.

공식 i)에서 주의할 점은,

cosecθ(cscθ, 코시컨트라 읽음)는 sinθ의 역수(cosθ의 역수가아닙니다!)이고

secθ(시컨트라 읽음)는 cosθ의 역수(sinθ의 역수가 아닙니다!) 라는 점입니다.

ii) 제곱공식 유도

제곱공식은 피타고라스의 정리로부터 간단히 유도됩니다.

위 그림에서 피타고라스의 정리인 다음 식이 성립합니다.

양변을 c²으로 나누면 다음과 같이 되고,

i)에서 정의한 삼각비의 정의 중에서 sinθ와 cosθ의 정의를 이용하면,

나머지 제곱공식은 이 공식의 양변을 cos²θ로 나누거나 sin²θ로 나누면 됩니다.

먼저 양 변을 cos²θ으로 나눈 경우,

그런데

이므로 위 식은 다음과 같이 정리됩니다.

(일반적으로 tanθ와 secθ는 친합니다. 식에 종종 함께 등장합니다.)

sin²θ으로 나눈 경우,



그런데

이므로 위 식은 다음과 같이 정리됩니다.

(일반적으로 cotθ와 cscθ는 친합니다. 식에 종종 함께 등장합니다.)

iii) sinθ, cosθ, tanθ의 관계 유도

위 식은 삼각비의 정의로부터 간단히 유도됩니다. 각 삼각비는 다음과같이 정의됩니다.

sinθ를 cosθ로 나누면 자연스럽게 tanθ의 정의가 나옵니다.

ii)의 제곱공식과 iii)의 식의 의미는 삼각비 하나가 주어지면 나머지 삼각비를 모두 구할 수 있다는 것입니다.

예를들어 어떤 삼각형의 cos 값이 주어졌다고 칩시다.

그러면 식 ii)로부터 sin을 구할 수 있고, 이어서 식 iii)으로부터 tan를 구할 수 있습니다.

이게 가능한 이유는, 직각삼각형에서 한 예각이 주어지면 그 각의 삼각비는 무조건 하나의 값을 가지는 대응관계, 즉 함수 관계에 있기 때문입니다.

즉 특정 삼각비의 값을 가지는 직각삼각형의 모양은 오직 하나이며,

그에 해당하는 나머지 삼각비 역시 오직 하나의 값을 가집니다.

iv) 삼각함수의 변형공식 유도

표에 나타난 변형공식들, 즉 각이 nπ/2±θ의 꼴로 주어졌을 때 나타나는 공식들은

삼각함수의 주기적 성질을 이용해 유도할 수 있습니다.

여기서는 주기함수인 삼각함수의 성질을 간단하게 짚고, 이로부터 공식 몇 개만 유도해 보겠습니다.

(나머지는 여러분의 몫으로 남기겠습니다.)

먼저 사인함수를 봅시다.

사인함수는 그래프가 2π인 주기함수입니다.

위 그림에서 임의의 예각 θ를 잡고 sinθ의 위치를 봅시다.(붉은 실선)

사인함수의 대칭성 및 주기 특성상

각이 π-θ일 때의 함수값 sin(π-θ)와 sinθ 값이 같습니다.

한편, 2π-θ 일때의 함수값 sin(2π-θ)는 -sinθ 임을 알 수 있습니다.(주황색 실선)

다음으로 코사인함수를 봅시다.

마찬가지 논리로

cos(π+θ)=-cosθ, cos(2π-θ)=+cosθ임을 알 수 있습니다.

끝으로, 탄젠트 함수를 봅시다.

탄젠트 함수는 주기가 π인 함수입니다.

그림을 보면

tan(π-θ)=-tanθ, tan(2π+θ)=+tanθ 임을 알 수 있습니다.

나머지 각에 대해서도 같은 방법을 사용해서 구하면,

공식 iv)에서 제시한 모든 공식을 유도할 수 있습니다.

다음으로 각이 π/2±θ, 3π/2±θ 으로 주어진 경우에는 조금 다른데요.

이는 사인함수를 x축으로 π/2만큼  평행이동시키면 코사인함수가 나온다는 사실로부터 유도할 수 있습니다.

위 그림은 사인함수 그래프와 코사인함수 그래프를 한 좌표평면에 나타낸 그림입니다.

그림에서 cos(π/2-θ)=sinθ, cos(3π/2-θ)=-sinθ가 됨을 알 수 있습니다.

tan(π/2±θ), tan(3π/2±θ)의 경우에는 공식 iii) tanθ=sinθ/cosθ로 변형한 뒤 유도하면 cotθ에 관한 함수로 표현할 수 있습니다.

tan(π/2-θ)에 대해서만 해보겠습니다.

나머지 식들은 같은 방법으로 유도하면 됩니다.

v)삼각함수의 합성 유도

삼각함수의 합성은 단위원과 삼각비의 관계로부터 유도됩니다.

중심이 (0, 0), 반지름이 1인 단위원 x²+y²=1 을 생각해봅시다.

그 단위원과, 합성할 삼각함수 y = asinx+ bcosx에 나타난 두 상수 a, b를 좌표평면에 찍고

위치벡터 (a, b)와 원이 만나는 교점의 좌표를 구하면 다음과 같습니다.

(이 점을 원에 넣어보면 식이 성립합니다. 또한 원점과 이 점의 기울기는 a/b가 되는데, 이는 원점과 점 (a, b) 사이의 기울기와 일치합니다. 따라서 이 점은 위치벡터 위의 점입니다. 이처럼, 어떤 위치벡터와 단위원의 교점을 그 벡터의 방향벡터 라고 명명합니다.)

위 그림에서 x축과 벡터 (a, b)가 이루는 양의 각을 θ라 하면,

단위원 위의 교점은 (cosθ, sinθ)가 됩니다. 즉, 다음 식이 성립합니다.

따라서, 다음과같이 삼각함수를 합성할 수 있습니다.

원래 식에서 보이지 않던 θ, 합성과정에서 새로 생겨난 θ는

좌표평면 위의 점 (a, b)와 x축이 양의 방향으로 이루는 각도입니다.

vi)삼각함수의 덧셈공식 유도

삼각함수의 덧셈공식은 두 벡터의 내적으로 증명할 수 있습니다.

아래와 같은 단위원에서 두 벡터 (cosα, sinα), (cosβ, sinβ)를 생각할 수 있습니다.

두 벡터를 각각 a, b라 두면 이 둘의 내적은 다음과 같이 됩니다.

이로써 삼각함수 합공식의 네번째 공식을 유도했습니다.

이제부터 이 식을 기준으로 나머지 다른 공식을 유도하겠습니다. 

위 식에서 β대신 -β를 대입하면 세 번 째 공식을 얻을 수 있습니다.

또한 위 식에서 α대신 π/2-α를 대입하면 아래와 같이 식이 전개됩니다.

합공식 첫번째 공식을 유도했습니다.

이 공식에  β대신 -β를 대입하면 두 번째 공식을 얻을 수 있습니다.

탄젠트 관련 합공식은 위에서 유도한 식의 사인값을 코사인값으로 나누면 됩니다.

그 과정은 아래와 같습니다.

이 식에 β대신 -β를 대입하면 마지막 합공식을 얻을 수 있습니다.

*sinx는 기함수(원점대칭)이기 때문에 sin(-x)=-sinx가 되고,

 cosx는 우함수(y축대칭)이기 때문에 cos(-x)=+cosx가 되며,

 tanx는 기함수(원점대칭)이기 때문에 tan(-x)=-tanx가 됨을 이용했습니다.

vii) 삼각함수의 2배각공식 유도

β=α를 대입하면 얻을 수 있는 식들입니다.

여기서는 코사인의 2배각공식만 유도해보겠습니다.

나머지 식들은 직접 해보시기 바랍니다.

viii) 삼각함수의 3배각공식 유도

3배각공식은 sin(α+β), cos(α+β), tan(α+β)에 각각

β=2α를 대입하면 얻을 수 있는 식들입니다.

여기서는 사인의 3배각공식만 유도해보겠습니다.

나머지 식들은 직접 해보시기 바랍니다.

ix) 삼각함수의 반각공식 유도

반각공식은 코사인의 2배각공식에서 출발합니다.

먼저 코사인의 반각공식은 아래 식을 이용합니다.

다음으로 사인의 반각공식은 다음 식을 이용합니다.

탄젠트의 반각공식은 위 둘을 나누면 됩니다.

x) 삼각함수의 곱의 형식을 합의 꼴로 표현하기

이 공식의 유도는 특정 식으로부터 출발하는 게 아니라,

식의 우변을 그대로 전개해보면 좌변처럼 나오는 다소 직관적인 식입니다.

가장 위의 식의 우변을 전개해보겠습니다.

첫번 째 식을 유도했습니다.

위 식에 A대신 π/2-A를 대입하면 아래 과정을 따라 세 번째 식을 얻습니다.

같은 논리로, B대신 π/2-B를 대입하면 네 번째 식을,

A대신 π/2-A를 대입,  B대신 π/2-B를 대입하면 두 번째 식을 얻습니다.

(직접 해보시기 바랍니다.)

xi)삼각함수의 합의 형식을 곱의 꼴로 표현하기

이제 마지막 공식인데요. 이 공식들은 공식 x)에서 구한 식에서 출발합니다.

먼저, 첫번 째 식에 A 대신 (A+B)/2를 대입하고 B 대신 (A-B)/2를 대입해봅시다.

공식 xi)의 첫번째 식을 얻었습니다.

이 식에서 B 대신에 -B를 대입해봅시다.

sin(-B)=-sinB 이므로(∵sin은 원점대칭인 기함수) 대입하면 두 번째 식을 얻습니다.

세 번째 식은 공식 x)의 세 번째 식에서 A대신 (A+B)/2, B대신 (A-B)/2를 대입하면 얻어집니다.

이 식에서 B 대신에 π-B를 대입하면 마지막 네 번째 식을 얻을 수 있습니다.

식을 유도하는 과정에서 cos함수가 우함수라는 점(cos(-B)=cosB)과

삼각함수의 변형공식 iv)에서 유도한 식들을 이용했습니다.(cos(π/2+θ)=-sinθ, cos(π/2-θ)=+sinθ)