Δ에서 Y로의 변환

 

이 글에서 사용할 Δ 회로와 Y 회로.

Δ 회로에서의 ${displaystyle {R_{a},R_{b},R_{c}}}$를 Y 회로의 ${displaystyle {R_{1},R_{2},R_{3}}}$로 바꾸기 위해, 두 회로에 대응되는 임피던스를 비교하자. 어느 회로에서든 임피던스는 회로에서 노드 중 하나가 끊어진 것과 같이 생각한 상태에서 결정된다.

Δ 회로에서 N₃이 끊어진 상태에서 N₁과 N₂ 사이의 임피던스는 다음과 같다.

${displaystyle {egin{aligned}R_{Delta }(N_{1},N_{2})&=R_{c}parallel (R_{a}+R_{b})\&={rac {1}{{rac {1}{R_{c}}}+{rac {1}{R_{a}+R_{b}}}}}\&={rac {R_{c}(R_{a}+R_{b})}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}end{aligned}}}$

식을 간단하게 하기 위해, ${displaystyle {R_{a},R_{b},R_{c}}}$를 ${displaystyle R_{T}}$라고 정의하자.

${displaystyle R_{T}=R_{a}+R_{b}+R_{c}}$

따라서,

${displaystyle R_{Delta }(N_{1},N_{2})={rac {R_{c}(R_{a}+R_{b})}{R_{T}}}}$

Y 회로에서 N₁과 N₂ 사이에 대응되는 임피던스를 구하는 법은 간단하다.

${displaystyle R_{Y}(N_{1},N_{2})=R_{1}+R_{2}}$

그러므로,

${displaystyle R_{1}+R_{2}={rac {R_{c}(R_{a}+R_{b})}{R_{T}}}}$   (1)

위의 계산식을 통하여, ${displaystyle R(N_{2},N_{3})}$의 값은 다음과 같다.

${displaystyle R_{2}+R_{3}={rac {R_{a}(R_{b}+R_{c})}{R_{T}}}}$   (2)

${displaystyle R(N_{1},N_{3})}$의 값은 다음과 같다.

${displaystyle R_{1}+R_{3}={rac {R_{b}(R_{a}+R_{c})}{R_{T}}}.}$   (3)

여기서, 위 3개 방정식의 선형 계산(더하기/빼기)을 통하여 ${displaystyle {R_{1},R_{2},R_{3}}}$를 구할 수 있다.

예를 들어, (1) 식과 (3) 식을 더한 후 (2) 식을 빼면 다음과 같다.

${displaystyle R_{1}+R_{2}+R_{1}+R_{3}-R_{2}-R_{3}={rac {R_{c}(R_{a}+R_{b})}{R_{T}}}+{rac {R_{b}(R_{a}+R_{c})}{R_{T}}}-{rac {R_{a}(R_{b}+R_{c})}{R_{T}}}}$

${displaystyle 2R_{1}={rac {2R_{b}R_{c}}{R_{T}}}}$

따라서,

${displaystyle R_{1}={rac {R_{b}R_{c}}{R_{T}}}.}$

여기서, ${displaystyle R_{T}=R_{a}+R_{b}+R_{c}}$이다.

식을 정리하면 다음과 같다.

${displaystyle R_{1}={rac {R_{b}R_{c}}{R_{T}}}}$ (4)

${displaystyle R_{2}={rac {R_{a}R_{c}}{R_{T}}}}$ (5)

${displaystyle R_{3}={rac {R_{a}R_{b}}{R_{T}}}}$ (6)

Y에서 Δ로의 변환

식을 간단하게 하기 위해 다음과 같은 가정을 하자.

${displaystyle R_{T}=R_{a}+R_{b}+R_{c}}$.

여기서 우리는 Δ 회로에서 Y 회로로 변환하는 방정식을 다음과 같이 세울 수 있다.

${displaystyle R_{1}={rac {R_{b}R_{c}}{R_{T}}}}$   (1)

${displaystyle R_{2}={rac {R_{a}R_{c}}{R_{T}}}}$   (2)

${displaystyle R_{3}={rac {R_{a}R_{b}}{R_{T}}}.}$   (3)

3개 방정식을 두개씩 묶어 서로 곱해주면 다음과 같다.

${displaystyle R_{1}R_{2}={rac {R_{a}R_{b}R_{c}^{2}}{R_{T}^{2}}}}$   (4)

${displaystyle R_{1}R_{3}={rac {R_{a}R_{b}^{2}R_{c}}{R_{T}^{2}}}}$   (5)

${displaystyle R_{2}R_{3}={rac {R_{a}^{2}R_{b}R_{c}}{R_{T}^{2}}}}$   (6)

여기서, 3개 방정식을 다 더하면 다음과 같다.

${displaystyle R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}={rac {R_{a}R_{b}R_{c}^{2}+R_{a}R_{b}^{2}R_{c}+R_{a}^{2}R_{b}R_{c}}{R_{T}^{2}}}}$   (7)

여기서 우변 분자의 ${displaystyle R_{a}R_{b}R_{c}}$를 묶어서 ${displaystyle R_{T}}$를 밖으로 빼면 분모의 ${displaystyle R_{T}}$와 나눌 수 있다.

${displaystyle R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}={rac {(R_{a}R_{b}R_{c})(R_{a}+R_{b}+R_{c})}{R_{T}^{2}}}}$

${displaystyle R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}={rac {R_{a}R_{b}R_{c}}{R_{T}}}}$ (8)

(8)의 식과 {(1),(2),(3)} 식은 서로 유사하다.

(8)을 (1)로 나누면 다음과 같다.

${displaystyle {rac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{1}}}={rac {R_{a}R_{b}R_{c}}{R_{T}}}{rac {R_{T}}{R_{b}R_{c}}},}$

${displaystyle {rac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{1}}}=R_{a},}$

이 식은 ${displaystyle R_{a}}$ 값에 대한 식이다. (8) 식을 (2)나 (3)으로 나누면 ${displaystyle R_{b}}$와 ${displaystyle R_{c}}$를 구할 수 있다.