직각 삼각형

C가 직각인 삼각형 ABC에서, 각 A, B, C의 대변(마주보는 변)의 길이를 ${\displaystyle a,b,h}$라고 할 때, 사인, 코사인, 탄젠트의 정의는 다음과 같다.

사인: ${\displaystyle \sin A={\frac {a}{h}}}$

코사인: ${\displaystyle \cos A={\frac {b}{h}}}$

탄젠트: ${\displaystyle \tan A={\frac {a}{b}}}$

또한, 코시컨트, 시컨트, 코탄젠트는 위 세 함수의 역수가 되며, 다음과 같이 정의한다.

코시컨트: ${\displaystyle \csc A={\frac {h}{a}}={\frac {1}{\sin A}}}$

시컨트: ${\displaystyle \sec A={\frac {h}{b}}={\frac {1}{\cos A}}}$

코탄젠트: ${\displaystyle \cot A={\frac {b}{a}}={\frac {1}{\tan A}}}$

단위원을 통한 정의

 

삼각 함수

좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름 r의 길이가 1인 원을 단위원이라고 한다. 이 단위원 위의 점 A ${\displaystyle (x,y)}$에 대해, ${\displaystyle x}$축과 점 A와 원점을 잇는 직선간의 각을 ${\displaystyle \theta }$ 라고 하면, 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {y}{r}}}$

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {x}{r}}}$

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {y}{x}}}$

${\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}}$

${\displaystyle \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}}$

${\displaystyle \cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}}$

단위원에서의 삼각함수의 역방향성

동경선이 역방향으로 움직이면 ${\displaystyle -\theta }$값을 갖는다.

${\displaystyle \sin -\theta ={y \over r}={-{{\sqrt {2}} \over 2} \over {1}}=-{{\sqrt {2}} \over 2}=-\sin \theta }$

${\displaystyle \cos -\theta ={x \over r}={{{\sqrt {2}} \over 2} \over {1}}={{\sqrt {2}} \over 2}=\cos \theta }$

복소 삼각 함수

오일러의 공식 ${\displaystyle \,e^{ix}=\cos x+i\sin x}$에 ${\displaystyle \,x=bi}$를 대입하면,

${\displaystyle \,e^{-b}=\cos bi+i\sin bi}$

${\displaystyle \,x=-bi}$를 대입하면,

${\displaystyle \,e^{b}=\cos(-bi)+i\sin(-bi)=\cos bi-i\sin bi}$

연립하여 풀면, 쌍곡선 함수,

${\displaystyle \cos bi={\frac {e^{b}+e^{-b}}{2}}=\cosh b}$

${\displaystyle i\sin bi={{-e^{b}+e^{-b}} \over 2}\;,}$

${\displaystyle -i\sin bi={{e^{b}-e^{-b}} \over 2}=\sinh b}$