핵심: 나이퀴스트 안정도 판별법 (Nyquist Stability Criterion)

근본적인 원리는 나이퀴스트의 안정도 판별식

나이퀴스트 안정도 판별의 핵심 공식은 다음과 같습니다.

여기서 각 변수의 의미는 다음과 같습니다.

• P (Poles): 개루프 전달함수 G(s)H(s)의 극점 중, 복소평면의 우반면(RHP, Right-Half Plane)에 존재하는 극점의 수입니다. 즉, 개루프 시스템 자체가 불안정한 요소의 개수를 의미합니다. (일반적으로 문제에서 별도 언급이 없으면 개루프 시스템은 안정하다고 가정하므로 P=0 입니다.)

• N (Number of Encirclements): 나이퀴스트 선도가 임계점(-1, +j0)을 시계 방향(CW)으로 감싸는 횟수입니다. 반시계 방향(CCW)으로 감싸면 음수(-)로 계산합니다.

• Z (Zeros): 특성방정식 1 + G(s)H(s) = 0의 근 중에서 우반면(RHP)에 존재하는 근의 수입니다. 이 Z가 바로 폐루프 시스템의 불안정한 극점의 수와 같습니다.

시스템이 안정하기 위한 절대 조건은 폐루프 시스템의 극점이 우반면에 존재하지 않아야 하므로, Z=0 이어야 합니다.

질문 1, 2) 궤적 ②가 안정적인 이유와 이득 여유

이제 문제의 궤적 ②를 위 판별법에 적용해 보겠습니다.

1. P 값의 가정: 문제에서 개루프 전달함수가 불안정하다는 조건이 없으므로, 개루프 시스템은 안정하다고 가정합니다. 따라서 P = 0 입니다.

2. 안정 조건: 시스템이 안정하려면 Z = 0 이어야 합니다. Z = N + P 식에 P=0, Z=0을 대입하면, N = 0 이라는 결론이 나옵니다. 즉, 나이퀴스트 선도가 (-1, +j0) 점을 감싸지 않아야(encircle) 안정하다는 의미입니다.

3. 궤적 ②의 분석: 궤적 ②는 화살표 방향을 따라 주파수(ω)가 0에서 ∞로 변할 때, 임계점 (-1, +j0)을 감싸지 않습니다. 따라서 N = 0 입니다.

4. 최종 판별: P=0, N=0 이므로 Z = 0 + 0 = 0 입니다. Z=0 이므로 이 시스템은 안정합니다.

이득 여유(Gain Margin)에 대한 오해: 수험생께서 "이득 여유가 음수"라고 생각하신 부분은, 궤적이 음의 실수축과 만나는 점이 (-1, 0)보다 원점에 가깝기 때문일 것입니다. 하지만 이것이 이득 여유가 음수라는 의미는 아닙니다.

• 이득 여유(GM)의 정의: 위상각이 -180°가 되는 지점에서, 이득이 1이 되기까지 얼마나 여유가 있는가를 나타냅니다. 궤적 ②는 위상이 -180°일 때 이득(원점에서의 거리)이 1보다 작습니다. 이득을 더 키워야 불안정해지는 임계점(-1)에 도달하므로 이득 여유는 양수(+) 입니다.

  • 예를 들어, -180°에서 이득이 0.5라면, 이득을 2배(1/0.5) 키워야 불안정해지므로 이득 여유는 2이고, dB로 환산하면 20log10​(2)≈6dB>0 입니다.

따라서 궤적 ②는 이득 여유와 위상 여유 모두 양수 값을 가지는 안정한 시스템이 맞습니다.

질문 3) (-1, 0)점이 궤적의 왼쪽에 있으면 안정하다는 규칙

이것은 나이퀴스트 판별법을 실용적으로 적용하는 매우 유용한 방법으로, **"좌수 법칙(Left-Hand Rule)"**이라고도 불립니다.

주파수(ω)가 0에서 ∞로 증가함에 따라 궤적을 따라 진행할 때, 임계점(-1, +j0)이 항상 나의 왼쪽에 있으면 시스템은 안정하다. (단, P=0 즉, 개루프 시스템이 안정할 때 적용)

이 규칙은 "(-1, 0)을 감싸지 않는다 (N=0)"는 조건을 시각적으로 쉽게 판단하게 해주는 방법입니다. 궤적 ② 위에 서서 화살표 방향으로 걸어간다고 상상해 보면, (-1, +j0) 점은 항상 왼쪽에 위치하게 됩니다. 따라서 안정합니다.

반면, 불안정한 궤적(예: ③번)을 따라가면 (-1, +j0) 점이 오른쪽에 있게 되어 궤적이 점을 감싸게 되므로 불안정합니다.

결론적으로, 그냥 외우시는 것이 아니라 'N=0'이라는 나이퀴스트 안정 조건의 실용적인 해석 방법으로 이해하시면 됩니다.

출처: 제어공학(Control Engineering) 이론 및 나이퀴스트 안정도 판별법(Nyquist Stability Criterion). 이는 모든 제어공학 교재의 표준 이론입니다.