자기장의 생성

점전하가 만드는 자기장

총 자기장은 각각의 전하가 만드는 자기장의 합으로 계산할 수 있다. 점전하가 만드는 자기장은 다음과 같다.

${displaystyle mathbf {B} ={rac {1}{c^{2}}}mathbf {v} imes mathbf {E} }$

만약 전하가 일정한 속도로 움직이고 있다면, 비오-사바르 법칙을 통해 이 식을 다음과 같이 전개할 수 있다.

${displaystyle mathbf {B} ={rac {mu _{0}}{4pi }}{rac {q}{r^{2}}}mathbf {v} imes mathbf {hat {r}} }$

• ${displaystyle q}$는 자기장을 만드는 점전하의 전하량으로, 단위는 쿨롱이다.
• ${displaystyle mathbf {v} }$는 전하 ${displaystyle q}$의 속도벡터로, 단위는 미터 매 초이다.
• ${displaystyle mathbf {B} }$는 자기장으로, 단위는 테슬라이다.

벡터 미적분학으로의 표현

벡터 미적분학을 사용하면 자기장의 생성과정을 수학적으로 간단하고 아름답게 표현할 수 있다. 진공에서,

${displaystyle abla imes mathbf {B} =mu _{0}mathbf {J} +mu _{0}epsilon _{0}{rac {partial mathbf {E} }{partial t}}}$

${displaystyle abla cdot mathbf {B} =0}$

• ${displaystyle abla imes }$는 회전 연산자이다.
• ${displaystyle abla cdot }$는 발산 연산자이다.
• ${displaystyle mu _{0} }$는 진공의 투자율이다.
• ${displaystyle mathbf {J} }$는 전류밀도이다.
• ${displaystyle partial }$는 편미분 연산자이다.
• ${displaystyle epsilon _{0} }$는 진공의 유전율이다.
• ${displaystyle mathbf {E} }$는 전기장을 의미한다.
• ${displaystyle t }$는 시간이다.

첫 번째 방정식은 앙페르 회로 법칙으로 알려진 법칙을 맥스웰이 수정한 것이다. 이 식의 두 번째 항이 바로 맥스웰이 수정한 부분인데, 정적 계(static system)나 준정적 계(quasi-static system)에서는 0이 되어 앙페르의 회로법칙과 일치하게 된다. 두 번째 방정식은 자기홀극이 존재하지 않음을 수학적으로 나타낸 식이다. 이들은 맥스웰 방정식에 포함되며, 여기서 사용된 표기법은 올리버 헤비사이드가 사용한 것이다.