사인 법칙

사인 법칙(law of sines)은 평면상의 일반적인 삼각형에서 성립하는 삼각형의 세 각의 사인함수와 변의 관계에 대한 법칙이다. 삼각형 ABC에서 각 A, B, C에 마주보는 변의 길이를 각각 ${\displaystyle a,b,c}$라고 하면, 다음 식이 성립한다.

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R}$

여기에서 R은 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이이다. 이 공식을 이용하면, 어떤 삼각형의 두 각의 크기와 한 변의 길이를 알고 있을 때에 다른 두 변의 길이를 구할 수 있다.

증명[편집]

사인 법칙의 증명 (1)

예각 삼각형 ABC에서, 각 변의 길이를 ${\displaystyle a,b,c}$, 그리고 C에서 AB에 내린 수선의 길이를 ${\displaystyle h}$라고 하면,

${\displaystyle \sin A={\frac {h}{b}}}$

${\displaystyle \sin B={\frac {h}{a}}}$

의 두 식을 발견할 수 있다. 이 식들을 h에 대해 정리하면

${\displaystyle h=b\,\sin A=a\,\sin B}$

따라서 다음 식이 성립한다.

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}}$

또한, b와 c에 대해서도 같은 방법을 사용하면 다음의 식이 얻어진다.

${\displaystyle {\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}}$

다른 증명[편집]

사인 법칙의 증명(2)

삼각형 ABC의 외심을 점 O라고 하고, 점 O에서 BC에 내린 수선의 발을 A'라고 하면,

${\displaystyle \angle BOC=2\angle A}$

${\displaystyle \angle BOC=2\angle BOA'}$

따라서, ${\displaystyle \angle BOA'=\angle A}$가 성립하고,

${\displaystyle \sin A=\sin BOA'={\frac {BA'}{BO}}}$

여기에서 변 BO는 외접원의 반지름이므로, ${\displaystyle {\overline {BO}}=R}$이다. 또한, A'는 BC의 중점이므로 ${\displaystyle {\overline {BA'}}={\frac {1}{2}}{\overline {BC}}={\frac {1}{2}}a}$이다. 따라서

${\displaystyle \sin A={\frac {a}{2R}}}$

가 성립한다. 각 B, C에 대해서도 같은 방법으로 증명할 수 있다.