실수(實數, real number)는 연산이 잘 정의되어 누구나 사칙연산과 대수(代數, algebra)를 손쉽게 사용할 수 있다. 하지만, 복소수는 식 (1)의 규칙에 따라 계산을 해야 원하는 답을 얻을 수 있다.

                              (1)

숙달이 되면 그리 어렵지는 않지만 식 (1)의 규칙으로 인해 초보자들은 복소수 계산을 제대로 하지 못하는 경우가 많다. 단지, 식 (1)과 같이 i와 i가 곱해지면 실수 -1로 바꾸면 된다. 이 규칙만 기억하면 복소수 계산은 실수 계산과 거의 동일하다.
하지만 이런 복잡한 숫자인 복소수는 도대체 왜 사용할까?
이차 방정식(二次方程式, quadratic equation: ax2+bx+c=0)의 해(解, solution)를 구할 때 실수만 고려하면 해가 존재하지 않는 문제가 발생하기 때문에 모든 이차 방정식의 해를 항상 찾을 수 있도록 도입한 상상의 수가 복소수이다. 즉, 식 (2)를 만족하는 새로운 수를 찾은 것이 식 (1)에 제시한 i=−1−−−√ 상수이다.

                              (2)

여기서 식 (1), (2)와 같은 수를 허수(虛數, imaginary number)라고 부른다.
실수는 항상 같은 수를 곱하면 0보다 크거나 같으므로 실수 범위내에서 식 (2)는 틀린 부등식이다. 하지만, 이차 방정식(ax2+bx+c=0)에는 식 (2)의 첫째줄과 같은 경우가 생길 수 있다. (예를 들면 x2+1=0⇒x2=−1처럼 제곱한 값이 0보다 작은 경우이다.)
식 (2)와 같이 원식을 변형해 가고 식 (1)의 허수를 상수처럼 취급하면 식 (2)의 세째줄은 논리적으로 의미 있는 부등식이 된다. 왜냐하면 제곱한 값이 0보다 크기 때문이다.
따라서, ix는 실수값이 되므로 식 (2)의 답(x)은 0을 제외한 허수축에 있는 모든 수이다. (∵ x가 실수라면 ix는 실수가 될 수 없다. 따라서 x는 실수 이외의 수이다.) 하지만, 복소수 자체는 식 (2)의 첫째줄 같이 제곱한 값이 0보다 작아서 부등식 자체가 성립하지 않기 때문에 복소수는 크기 비교를 할 수 없다. (∵ 크기 비교는 실수축에서만 한다는 것을 생각하자. [그림 1]을 보면 허수축은 원점 좌우가 아닌 위아래에 존재한다. 허수는 크지도 작지도 0도 아니다.)
즉, 식 (1)의 상수는 0보다 크지도 않고 0보다 작지도 않다. 그렇다고 0인 것도 아니다. 허수 상수는 크기를 정의할 수 없다. 만약 식 (1)의 상수가 0보다 크다고 가정하고 식 (1)의 상수를 서로 곱하면 0보다 커야 하나 0보다 작다. 반대로 식 (1)의 상수가 0보다 작다면 서로 곱한 수도 여전히 0보다 커야 하나 0보다 작아진다. 식 (1)의 허수 상수는 부등식이 맞지 않는 이상한 수이다.

복잡하게 새로운 기호 i를 도입하는 것보다는 −1−−−√을 사용하는 게 더 쉬울 것 같다. 하지만 −1−−−