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삼각함수 | 학습자료 |
2017-11-05 00:14:32 |
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작성자 김대호교수 |
조회 1827 | 추천 134 |
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직각 삼각형을 통한 정의
C가 직각인 삼각형 ABC에서, 각 A, B, C의 대변(마주보는 변)의 길이를 라고 할 때, 사인, 코사인, 탄젠트의 정의는 다음과 같다.
- 사인:
![\sin A={\frac {a}{h}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/576e1c767daae29bcc0d0c1356e45f8f0bad91f6) - 코사인:
![\cos A={\frac {b}{h}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7ffb8d0f426d96c007c41fb03ccfacfe3ffcf4c) - 탄젠트:
![\tan A={\frac {a}{b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d581f7c6afd858cc56d61a45355dc69f4b827970)
또한, 코시컨트, 시컨트, 코탄젠트는 위 세 함수의 역수가 되며, 다음과 같이 정의한다.
- 코시컨트:
![\csc A={\frac {h}{a}}={\frac {1}{\sin A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c920dbca50d9b9ad5edc979ca5514a68e05c590) - 시컨트:
![\sec A={\frac {h}{b}}={\frac {1}{\cos A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd6488fee7974006a1ac50f9babb5f3b49659926) - 코탄젠트:
![\cot A={\frac {b}{a}}={\frac {1}{\tan A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eeefd28f4b186cda560a77fa47b51bee7d30198f)
단위원을 통한 정의
좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름 r의 길이가 1인 원을 단위원이라고 한다. 이 단위원 위의 점 A 에 대해, 축과 점 A와 원점을 잇는 직선간의 각을 라고 하면, 다음과 같이 정의한다.
![{\displaystyle \sin \theta ={\frac {y}{r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4bda23796712e15fc10ac0d34630162fb199f8f) ![{\displaystyle \cos \theta ={\frac {x}{r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fa382cb5d63a7a4012fd7151c224a0cbff76067) ![{\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {y}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/260e2ca69e5895115d481c69597d3e8188fd293d) ![\sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc7582242c8fdc73f37b9d206e559dc671689bc) ![\csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e48e86e7fc615133fcc0ea9cdbe52a9535c0d82d) ![\cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feb049d4345bb82d8295a3bd87553c9b70d81c6d)
단위원에서의 삼각함수의 역방향성
동경선이 역방향으로 움직이면 값을 갖는다.
![{\displaystyle \sin -\theta ={y \over r}={-{{\sqrt {2}} \over 2} \over {1}}=-{{\sqrt {2}} \over 2}=-\sin \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21680285f30bc640ca6e08eecbe4e8e549e64b48)
![{\displaystyle \cos -\theta ={x \over r}={{{\sqrt {2}} \over 2} \over {1}}={{\sqrt {2}} \over 2}=\cos \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0992931949f68d339bcd60d2b1a139ed967ff67e)
복소 삼각 함수
오일러의 공식 에 를 대입하면,
![\,e^{{-b}}=\cos bi+i\sin bi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c8b2c5b751fe8340d51c35e05001d120d2d4cd6)
를 대입하면,
![\,e^{{b}}=\cos(-bi)+i\sin(-bi)=\cos bi-i\sin bi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/038becccb1aa38807943549a94d314f9e00ea0e8)
연립하여 풀면, 쌍곡선 함수,
![\cos bi={\frac {e^{{b}}+e^{{-b}}}{2}}=\cosh b](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ee59ce8fb09d7cf0e780c96760c1f1dc0a610ce) ![{\displaystyle i\sin bi={{-e^{b}+e^{-b}} \over 2}\;,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0611496c479ef7e4fcb0c462db33fb5d8e8d894) ![{\displaystyle -i\sin bi={{e^{b}-e^{-b}} \over 2}=\sinh b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/916fdb0888e510543f2b7a8130344a62d38b729f)
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